设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：R(A*)=

admin2020-03-16 36

问题设A是n阶矩阵(n≥2)，证明：R(A^*)=

选项

答案当R(A)=n时，｜A｜≠0，因为｜A^*｜=｜A｜^n—1≠0，所以R(A^*)=n。当R(A)=n—1时，｜A｜=0，于是A^*A=｜A｜E=O，所以R(A^*)+R(A)≤n。再由R(A)=n—1，故R(A^*)≤1。又因为R(A)=n—1，由矩阵秩的定义，A的最高阶非零子式为n—1阶，即存在M_ij≠O，所以A_ij=(—1)^i+jM_ij≠0，从而A^*≠O，于是R(A^*)≥1，故R(A^*)=1。当R(A)＜n—1时，因为A的所有n—1阶子式都为零，即所有的M_ij=0，所以A^*=0，于是R(A^*)=0。

解析

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