设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=－2，f′(0)=1，f″(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．

admin2019-09-27 25

问题设f(x)在[0，+∞)内二阶可导，f(0)=－2，f′(0)=1，f″(x)≥0．证明：f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有一个根．

选项

答案因为f″(x)≥0，所以f′(x)单调不减，当x＞0时，f′(x)≥f′(0)=1．当x＞0时，f(x)－f(0)=f′(ξ)x，从而f(x)≥f(0)+x，因为[*]=+∞，所以[*]=+∞．由f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)=－2＜0，[*]=+∞，则f(x)=0在(0，+∞)内至少有一个根，又由f′(x)≥1＞0，得方程的根是唯一的．

解析

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考研数学一

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