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设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证: (1)对(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立; (2)
设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证: (1)对(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立; (2)
admin
2016-01-11
51
问题
设y=f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f"(x)≠0,试证:
(1)对(-1,1)内的任一x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立;
(2)
选项
答案
(1)对(一1,1)内任一x≠0,由拉格朗日中值定理知,[*](x)∈(0,1),使 f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x). 因为f”(x)在(一1,1)内连续且f”(x)≠0,所以f”(x)在(一1,1)内不变号,即f’(x)单调,故θ(x)是唯一的. (2)再由泰勒公式知,存在介于0与x之间的ξ,使 [*]
解析
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考研数学二
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