设f(x)在(0,+∞)三次可导,且当x∈(0,+∞)时 |f(x)|≤M0,|f"’(x)|≤M3, 其中M0,M3为非负常数,求证f"(x)在(0,+∞)上有界.

admin2019-02-23  67

问题 设f(x)在(0,+∞)三次可导,且当x∈(0,+∞)时
|f(x)|≤M0,|f"’(x)|≤M3
其中M0,M3为非负常数,求证f"(x)在(0,+∞)上有界.

选项

答案分别讨论x>1与0<x≤1两种情形. 1)当x>1时考察二阶泰勒公式 f(x+1)=f(x)+f’(x)+[*](x<ξ<x+1), f(x-1)=f(x)-f’(x)+[*](x-1<η<x), 两式相加并移项即得 f"(x)=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)+[*][f"’(η)-f"’(ξ)], 则当x>1时有|f"(x)|≤4M0+[*]M3. 2)当0<x≤1时对f"(x)用拉格朗日中值定理,有 f"(x)=f"(x)-f"(1)+f"(1)=f"’(x)(x-1)+f"(1),其中ξ∈(x,1). => |f"(x)|≤|f"’(ξ)| |x-1 |+|f"(1)|≤M3+|f"(1)|(x∈(0,1]). 综合即知f"(x)在(0,+∞)上有界.

解析
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