根据下列条件,进行回答。 任取x0>0,令xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…),证明存在,并求其值。

admin2022-03-23  66

问题 根据下列条件,进行回答。
任取x0>0,令xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…),证明存在,并求其值。

选项

答案由题设xn=2ln(1+xn-1)(n=1,2,…) 由第一问,当0<x0<ξ时,x0<2ln(1+x0)=x1,由数学归纳法,知{xn}单调增加。 又因为2ln(1+x)单调增加,所以对于任意的x∈(0,ξ),有2ln(1+x)<2ln(1+ξ),于是x1=2ln(1+x0)<2ln(1+ξ)=ξ. 由数学归纳法,有xn<ξ(n=1,2,...),即{xn}有界,故由单调有界准则,知[*] 在x0=2ln(1+xn-1)的两端分别取极限,得A=2ln(1+A),由上一问得知,A=ξ 当x0>ξ时,同理可证[*]xn=ξ 当x0=ξ时,xn=ξ 证明完毕。

解析
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