使函数f(x)=x3+ax+b在区间(-∞,+∞)内只有一个零点x0(且x0<0)的常数a,b的取值范围是

admin2016-01-23  40

问题 使函数f(x)=x3+ax+b在区间(-∞,+∞)内只有一个零点x0(且x0<0)的常数a,b的取值范围是

选项 A、a<0,b<0
B、a≥0,b<0
C、a<0,b>0
D、a≥0,b>0

答案D

解析 本题考查函数零点问题——见到函数零点或方程实根以及两曲线交点的问题,就要先找函数再定区间,然后用零点定理,若还要研究个数,则必用函数的单调性及极(最)值处理.
    解:因f(x)在(-∞,+∞)内连续,f(x)=-∞,f(x)=+∞,故由零点定理可知f(x)在(-∞,+∞)内至少有一个零点.
    又f’(x)=3x2+a,为使f(x)只有一个零点,需a≥0(保证f(x)单调),而零点x0<0,f(0)=b,故只要b>0.
    注:上述结果“a≥0,b>0”只是f(x)在(-∞,+∞)内只有一个负零点x0的充分条件.
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