2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有

设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有

admin2016-10-20  49
问题 设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f’’(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有
选项
答案考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：[*]∈(0，1)，有 f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+[*]f’’(ξ)(x-c)2， (*) 其中ξ=c+θ(x-c)，0＜θ＜1． 在(*)式中，令x=0，得 f(0)=f(c)+f’(c)(-c)+[*]f’’(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1； 在(*)式中，令x=1，得 f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+[*]f’’(ξ2)(1-c)2，0＜c＜ξ2＜1． 上面两式相减得 f(1)-f(0)=f’(c)+[*][f’’(ξ2)(1-c)2-f’’(ξ1)c2]． 从而f’(c)=f(1)-f(0)+[*][f’’(ξ1)c2-f’’(ξ2)(1-c)2]，两端取绝对值并放大即得 [*] 其中利用了对任何c∈(0，1)有(1-c)2≤1-c，c2≤c，于是(1-c)2+c2≤1.
解析 证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f’(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c处展开．
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考研数学三

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