已知向量组(Ⅰ)α1,α2,α3; (Ⅱ)α1,α2,α3,α4; (Ⅲ)α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,证明:向量组α1,α2,α3,α5-α4的秩为4 .

admin2011-10-28  68

问题 已知向量组(Ⅰ)α1,α2,α3;  (Ⅱ)α1,α2,α3,α4;  (Ⅲ)α1,α2,α3,α5.如果各向量组的秩分别为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,r(Ⅲ)=4,证明:向量组α1,α2,α3,α54的秩为4 .

选项

答案证明 因为r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=3,所以α1,α2,α3线性无关,而α1,α2,α3,α4线性相关,所以α4可由α1,α2,α3线性表示,即存在数λ1,λ2,λ3,使得 α41α12α23α3, 设有数k1,k2,k3,k4,使得 k1α1+k2α2+k3α3+k454)=θ, 将α4代入上式,化简得 (k11k41+(k22k42+(k33k43+k4α5=θ, 由r(Ⅲ)=4知α1,α2,α3,α5线性无关,所以 [*]

解析
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