2. 考研
  3. 设总体Xi服从正态分布N(μi，σi2)，与Si2分别是取自总体Xi的样本均值与样本方差，i＝1，2，且X1与X2相互独立． (Ⅰ)求证，S12，，S22相互独立； (Ⅱ)如果μ1＝μ2μ，令αi＝，i＝1，2，求统计量Y＝的数学期望．

设总体Xi服从正态分布N(μi，σi2)，与Si2分别是取自总体Xi的样本均值与样本方差，i＝1，2，且X1与X2相互独立． (Ⅰ)求证，S12，，S22相互独立； (Ⅱ)如果μ1＝μ2μ，令αi＝，i＝1，2，求统计量Y＝的数学期望．

admin2019-07-19  23
问题 设总体Xi服从正态分布N(μi，σi2)，与Si2分别是取自总体Xi的样本均值与样本方差，i＝1，2，且X1与X2相互独立．
    (Ⅰ)求证，S12，，S22相互独立；
    (Ⅱ)如果μ1＝μ2μ，令αi＝，i＝1，2，求统计量Y＝的数学期望．
选项
答案(Ⅰ)由于([*]，S12)与([*]，S22)分别取自两个相互独立的正态总体样本，所以它们相互独立，又因正态总体的样本均值与样本方差相互独立，所以[*]与S12相互独立，[*]与S22也相互独立．对于任意实数a，b，c，d有 P{[*]≤a，S12≤b，[*]≤c，S22≤d}＝P{[*]≤a，S12≤b}P{[*]≤c，S22≤d} ＝P{[*]≤a}P{S12≤b}P{[*]≤c}P{S22≤d}， 于是[*]，S12，[*]，S22相互独立． (Ⅱ)从(Ⅰ)可知αi与[*]相互独立，i＝1，2，依题意α1＋α2＝1，从而 EY＝[*] ＝μ(Eα1＋Eα2)＝μE(α1＋α2)＝μ．
解析
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考研数学一

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