有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。求曲线x=φ(

admin2019-06-28 47

问题有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m³／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm²／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。
求曲线x=φ(y)的方程。

选项

答案液面的高度为Y时，液体的体积为 V(t)=π∫₀^yφ²(μ)dμ，由题设，以3m³／min的速率向容器内注入液体，得 [*][π∫₀^yφ²(μ)dμ]=3，所以 π∫₀^yφ²(μ)dμ=3t =3φ²(y)一12，上式两边对y求导，得 πφ²(y)=6φ(y)φ^’(y)，即 [*]φ(y)，解此微分方程，得φ(y)=[*]，其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为 x=[*]。

解析

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考研数学二

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