已知齐次线性方程组的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解。试证明线性方程组有解。

admin2018-02-07 42

问题已知齐次线性方程组

的所有解都是方程b₁x₁+b₂x₂+…+b_nx_n=0的解。试证明线性方程组

有解。

选项

答案由已知齐次线性方程组 [*] 的所有解都是方程 b₁x₁+b₂x₂+…+b_nx_n=0 (2) 的解，可知方程组(1)与方程组 [*] 有相同的解。故(1)的系数矩阵A=[*]与(3)的系数矩阵B=[*]的秩相同，即r(A)=r(B)。又方程组[*]的系数矩阵和增广矩阵分别为 [*]=B^T，由r(A)=r(A^T)，r(B)=r(B^T)，所以r(A^T)=r(B^T)，即方程组 [*] 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，故线性方程组 [*] 有解。

解析

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考研数学二

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