设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的导数，且满足求函数f(x)的表达式．

admin2019-08-06 29

问题设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的导数，且满足

求函数f(x)的表达式．

选项

答案因为f(t)为偶函数，故只需讨论t≥0的情形．由于 f(t)=2∫₀^2πdθ∫₀^tr²f(r)．rdr+t⁴=4π∫₀^tr³f(r)dr+t⁴．在等式两边同时对变量t求导，得f’(t)=4πt³f(t)+4t³，且f(0)=0．这是一个一阶线性微分方程．解此微分方程，得f(t)=[*]．

解析在已给出的积分方程中，因被积函数f具有因子x²+y²，且积分区域为圆域，故应用极坐标，将二重积分化为累次积分，再通过微分，即得关于变量t的一个微分方程．

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