设A是三阶矩阵,其特征值是1,3,—2,相应的特征向量依次是α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,α2),则P—1AP=( )

admin2017-01-21  25

问题 设A是三阶矩阵,其特征值是1,3,—2,相应的特征向量依次是α1,α2,α3,若P=(α1,2α3,α2),则P—1AP=(     )

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案A

解析 由Aα2=3α2,有A(—α2)=3(—α2),即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时,—α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理,2α3仍是矩阵A属于特征值λ=—2的特征向量。当P—1AP=Λ时,P由A的特征向量构成,Λ由A的特征值构成,且P与Λ的位置是对应一致的,已知矩阵A的特征值是1,3,—2,故对角矩阵Λ应当由1,3,—2构成,因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=—2的特征向量,所以—2在对角矩阵Λ中应当是第二列,所以应选A。
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