设f(χ)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且3f(0)=f(1)+2f(2),证明:存在ξ∈(0,2),使得f′(ξ)=0.

admin2018-05-17  38

问题 设f(χ)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,且3f(0)=f(1)+2f(2),证明:存在ξ∈(0,2),使得f′(ξ)=0.

选项

答案因为f(χ)在[1,2]上连续,所以f(χ)在[1,2]上取到最小值m和最大值M. 又因为m≤[*]≤M,所以由介值定理,存在c∈[1,2],使得f(c)=[*],即f(1)+2f(2)=3f(c), 因为f(0)=f(c),所以由罗尔定理,存在ξ∈(0,c)[*](0,2),使得f′(ξ)=0.

解析
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