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微分方程y〞+4y=cos2χ的通解为y=_______.
微分方程y〞+4y=cos2χ的通解为y=_______.
admin
2020-06-10
37
问题
微分方程y〞+4y=cos2χ的通解为y=_______.
选项
答案
[*]sin2χ+C
1
cos2χ+C
2
sin2χ.
解析
y〞+4y=cos2χ对应的齐次方程的特征方程是r
2
+4=0.它的两个特征根为r
1,2
=±2i.因此对应的齐次方程的通解为y=C
1
cos2χ+C
2
sin2χ.λ±ωi=±2i是特征方程的根,所以,设非齐次方程的特解为
y
*
=χ(Acos2χ+Bsin2χ),
则(y
*
)′=χ(-2Asin2χ+2Bcos2χ)+Acos2χ+Bsin2χ,
(y
*
)〞=-χ(4Acos2χ+4Bsin2χ)-4Asin2χ+4Bcos2χ.
将上两式代入方程y〞+4y=cos2χ中,得-4Asin2χ+4Bcos2χ=cos2χ.
比较上式系数得A=0,B=
.
故原方程的通解为y=
sin2χ+C
1
cos2χ+C
2
sin2χ.
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/4c9RFFFM
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考研数学一
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