微分方程y〞+4y=cos2χ的通解为y=_______.

admin2020-06-10  37

问题 微分方程y〞+4y=cos2χ的通解为y=_______.

选项

答案[*]sin2χ+C1cos2χ+C2sin2χ.

解析 y〞+4y=cos2χ对应的齐次方程的特征方程是r2+4=0.它的两个特征根为r1,2=±2i.因此对应的齐次方程的通解为y=C1cos2χ+C2sin2χ.λ±ωi=±2i是特征方程的根,所以,设非齐次方程的特解为
    y*=χ(Acos2χ+Bsin2χ),
    则(y*)′=χ(-2Asin2χ+2Bcos2χ)+Acos2χ+Bsin2χ,
    (y*)〞=-χ(4Acos2χ+4Bsin2χ)-4Asin2χ+4Bcos2χ.
    将上两式代入方程y〞+4y=cos2χ中,得-4Asin2χ+4Bcos2χ=cos2χ.
    比较上式系数得A=0,B=
    故原方程的通解为y=sin2χ+C1cos2χ+C2sin2χ.
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