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  3. 设n维实向α＝(α1，α2，…，αn)T≠0，方阵A＝ααT． (1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am＝tm-1A，并求出t； (2)求可逆矩阵P，使P-1AP成对角矩阵．

设n维实向α＝(α1，α2，…，αn)T≠0，方阵A＝ααT． (1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am＝tm-1A，并求出t； (2)求可逆矩阵P，使P-1AP成对角矩阵．

admin2017-06-26  49
问题 设n维实向α＝(α1，α2，…，αn)T≠0，方阵A＝ααT．
    (1)证明：对于正整数m，存在常数t，使Am＝tm-1A，并求出t；
    (2)求可逆矩阵P，使P-1AP成对角矩阵．
选项
答案(1)Am＝(ααT)(ααT)…(ααT)＝α(αTα)m-1αt＝(αTα)m-1(ααT)＝[*]＝tm-1A，其中t＝[*]． (2)A≠O，[*]1≤r(A)＝r(ααT)≤r(α)＝1，[*]r(A)＝1，因为实对称矩阵A的非零特征值的个数就等于A的秩，故A只有一个非零特征值，而有n－1重特征值λ1＝λ2＝…＝λn-1＝0，计算可得属于特征值0的线性无关特征向量可取为(设ai≠0)： [*] 由于A的全部特征值之和等于A的主对角线元素之和[*]，故得A的唯一的非零特征值为λn＝[*]＝αTα，且由Aα＝(ααT)α＝α(αTα)＝αλn＝λnα可得口为对应于λn的一个特征向量．令矩阵P＝[ξ1 … ξn-1 α]，则有P-1AP＝diag(0，0，…，0，[*])为对角矩阵．
解析
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考研数学三

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