设A为三阶矩阵,ξ1,ξ2,ξ3是三维线性无关的列向量,且 Aξ1=-ξ1+2ξ2+2ξ3,Aξ2=2ξ1-ξ2-2ξ3,Aξ3=2ξ1-2ξ2-ξ3. (1)求矩阵A的全部特征值; (2)求|A*+2E|.

admin2019-04-22  43

问题 设A为三阶矩阵,ξ1,ξ2,ξ3是三维线性无关的列向量,且
    Aξ1=-ξ1+2ξ2+2ξ3,Aξ2=2ξ12-2ξ3,Aξ3=2ξ1-2ξ23
(1)求矩阵A的全部特征值;
(2)求|A*+2E|.

选项

答案(1)A(ξ1,ξ2,ξ3)=(ξ1,ξ2,ξ3)[*],因为ξ1,ξ2,ξ3线性无关,所以(ξ1,ξ2,ξ3)可逆,故A~[*]=B. 由|λE-A|=|λE-B|=(λ+5)(λ-1)2=0,得A的特征值为-5,1,1. (2)因为|A|=-5,所以A*的特征值为1,-5,-5,故A*+2E的特征值为3,-3,-3. 从而|A*+2E|=27.

解析
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