2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)=k∫01／kxe1-xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)=(1-)f(ξ)成立。

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)=k∫01／kxe1-xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)=(1-)f(ξ)成立。

admin2019-07-24  28
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导，且f(1)=k∫01／kxe1-xf(x)dx，其中k＞1。证明：存在ξ∈(0，1)使f’(ξ)=(1-)f(ξ)成立。
选项
答案令g(y)=k∫0yxe1-xf(x)dx，则g(0)=0，g(1／k)=f(1)，由拉格朗日中值定理可知，存在η∈(0，1／k)，使得 [*] 故kf(1)=kηe1-ηf(η)，即f(1)=ηe1-ηf(η)。 再令φ(x)=xe1-xf(x)，则φ(0)=0，φ(1)=f(1)，所以φ(1)=f(1)=φ(η)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(η，1)[*](0，1)，使得φ’(ξ)=0，即 ξe1-ξ[[*]f(ξ)-f(ξ)+f(’ξ)] 所以f’(ξ)=(1-[*])f(ξ)。
解析
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考研数学一

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