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  3. 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)． 证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)． 证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；

admin2018-11-22  13
问题 设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2)．
证明方程fn(x)=1有唯一的正根xn；
选项
答案令φn(x)=fn(x)一1，因为φn(0)=一1＜0，φn(1)=n一1＞0，所以φn(x)在(0，1)[*](0，+∞)内有一个零点，即方程fn(x)=1在(0，+∞)内有一个根． 因为φn’(x)=1+2x+…+nxn－1＞0，所以φn(x)在(0，+∞)内单调增加，所以φn(x)在(0，+∞)内的零点唯一，所以方程fn(x)=1在(0，+∞)内有唯一正根，记为xn。
解析
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考研数学一

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