设f(χ)在(0,+∞)三次可导,且当χ∈(0,+∞)时|f(χ)|≤M0,|f″′(χ)|≤M3,其中M0,M3为非负常数,求证f〞(χ)在(0,+∞)上有界.

admin2016-10-21  55

问题 设f(χ)在(0,+∞)三次可导,且当χ∈(0,+∞)时|f(χ)|≤M0,|f″′(χ)|≤M3,其中M0,M3为非负常数,求证f〞(χ)在(0,+∞)上有界.

选项

答案分别讨论χ>1与0<χ≤1两种情形. 1)当χ>1时考察二阶泰勒公式 [*] 两式相加并移项即得 f〞(χ)=f(χ+1)+f(χ-1)-2f(χ)+[*][f″′(η)-f″′(ξ)], 则当χ>1时有|f〞(χ)|≤4M0+[*]M3. 2)当0<χ≤1时对f〞(χ)用拉格朗日中值定理,有 f〞(χ)=f〞(χ)-f〞(1)+f〞(1)=f″′(ξ)(χ-1)+f〞(1),其中ξ∈(χ,1). [*]|f〞(χ)|≤|f″′(χ)|≤|χ-1|+|f〞(1)|≤M3+|f〞(1)| (χ∈(0,1]). 综合即知f〞(χ)在(0,+∞)上有界.

解析
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