2. 考研
  3. 设 (I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

设 (I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3； (Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．

admin2016-04-11  43
问题 设

(I)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；
(Ⅱ)对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
选项
答案(I)设ξ2=(x1，x2，x3)T，解方程组Aξ2=ξ1，由 [*] 得x1=一x2，x3=1—2x2(x2任意)．令自由未知量x2=一c1，则得 [*] 设ξ3=(y1，y2，y3)T，解方程组A2ξ3=ξ1，由 [*] 得y1=一[*]一y2(y2，y3任意)．令自由未知量y2=c2，y3=c3，则得 [*] 其中c3，c3为任意常数． (Ⅲ)3个3维向量ξ1，ξ2，ξ3线性无关的充要条件是3阶行列式D=｜ξ1 ξ2 ξ3｜≠0．而 [*] 所以ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
解析 本题综合考查线性方程组的求解、方阵的幂和行列式的基本运算，以及n个n雏向量线性相关性的判别方法．
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考研数学一

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