设n阶实对称矩阵A满足A2=E,且秩r(A+E)=k<n. (Ⅰ)求二次型xTAx的规范形; (Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵,并求行列

admin2022-01-06  37

问题 设n阶实对称矩阵A满足A2=E,且秩r(A+E)=k<n.
(Ⅰ)求二次型xTAx的规范形;
(Ⅱ)证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵,并求行列

选项

答案(Ⅰ)设A为矩阵A的特征值,对应的特征向量为α,即Aα=λα,α≠0,则A2α=λ2α 由于A2=E,从而(λ2—1)α=0.又因α≠0,故有λ2—1=0,解得λ=1或λ=一1. 因为A是实对称矩阵,所以必可对角化,且秩r(A+E)=k,于是 [*] 那么矩阵A的特征值为:1(k个),一1(n一k个). 故二次型xTAx的规范形为y12+…+yk2一yk+12+1一…一yn2. (Ⅱ)因为A2=E,故 B=E+A+A2+A3+A4=3E+2A. 所以矩阵B的特征值是:5(k个),1(n—k个).由于B的特征值全大于0且B是对称矩阵,因此B是正定矩阵,且|B|=5k.1n—k=5k

解析
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