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  3. 求解下列方程： (Ⅰ)求方程xy"=y’lny’的通解； (Ⅱ)求yy"=2(y’2－y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．

求解下列方程： (Ⅰ)求方程xy"=y’lny’的通解； (Ⅱ)求yy"=2(y’2－y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．

admin2021-11-09  33
问题 求解下列方程：
(Ⅰ)求方程xy"=y’lny’的通解；
(Ⅱ)求yy"=2(y’2－y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．
选项
答案(Ⅰ)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp． 当p≠1时，可改写为[*]，其通解为 ln｜lnp｜=ln｜x｜+C’，即lnp=C1x，即y’=[*] 这样，原方程的通解即为y=[*]+C2，其中C1≠0，C2为任意常数． 当p=1时，也可以得到一族解y=x+C3． (Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以y为自变量，[*]，原方程可化为[*]=2(p2－p)． 当p≠0时，可改写为[*]=2(p－1) 或[*]，解为p－1=C1y2． 再利用p=y’，以及初始条件，可推出常数C1=1．从而上述方程为变量可分离的方程 y’=1+y2 => 其通解为y=tan(x+C2)． 再一次利用初始条件y(0)=1，即得C2=[*]．所以满足初始条件的特解为y=tan(x+[*])．
解析
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考研数学二

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