2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)Anx=0和(2)An+1x=0，现有四个命题： ①(1)的解必是(2)的解； ②(2)的解必是(1)的解； ③(1)的解不是(2)的解； ④(2)的解不是(1)的解。 以上命题中正确的是( )

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)Anx=0和(2)An+1x=0，现有四个命题： ①(1)的解必是(2)的解； ②(2)的解必是(1)的解； ③(1)的解不是(2)的解； ④(2)的解不是(1)的解。 以上命题中正确的是( )

admin2019-05-12  35
问题 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)Anx=0和(2)An+1x=0，现有四个命题：
①(1)的解必是(2)的解；    ②(2)的解必是(1)的解；
③(1)的解不是(2)的解；    ④(2)的解不是(1)的解。
以上命题中正确的是(    )
选项 A、①②。
B、①④。
C、③④。
D、②③。
答案A
解析 若Anα=0，则An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，则α必是(2)的解，可见命题①正确。
如果An+1α=0，而Anα≠0，那么对于向量组α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：
若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的两边得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。类似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα线性无关。
但另一方面，这是n+1个n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故An+1α=0时，必有Anα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题②正确。
综上所述，故选A。
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考研数学一

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