(2002年)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点ξ∈[a,b],使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。

admin2019-05-11  47

问题 (2002年)设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质,证明存在一点ξ∈[a,b],使∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。

选项

答案因为f(x),g(x)在[a,b]上连续,且g(x)>0,由最值定理,知f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m。即m≤f(x)≤M,又g(x)>0故 mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)。 ∫abmg(x)dx≤∫abf(x)g(x)dx≤∫abMg(x)dx, [*] 由介值定理知,存在ξ∈[a,b]使f(ξ)=[*]即 ∫abf(x)g(x)dx=f(ξ)∫abg(x)dx。

解析
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