(11年)设向量组α1＝(1，0，1)T，α2＝(0，1，1)T，α3＝(1，3，5)T不能由向量组β1＝(1，1，1)T，β2＝(1，2，3)T，β3＝(3，4，a)T线性表示． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2，α

admin2021-01-25 52

问题 (11年)设向量组α₁＝(1，0，1)^T，α₂＝(0，1，1)^T，α₃＝(1，3，5)^T不能由向量组β₁＝(1，1，1)^T，β₂＝(1，2，3)^T，β₃＝(3，4，a)^T线性表示．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)将β₁，β₂，β₃用α₁，α₂，α₃线性表示．

选项

答案(Ⅰ)4个3维向量β₁，β₂，β₃，β_i线性相关(i＝1，2，3)，若β₁，β₂，β₃线性无关，则α_i可由β₁，β₂，β₃线性表示(i＝1，2，3)，这与题设矛盾，于是β₁，β₂，β₃线性相关，从而 0＝｜β₁，β₂，β₃｜＝[*]＝a－5，于是a＝5．此时，α₁不能由向量组β₁，β₂，β₃线性表示． (Ⅱ)令矩阵A＝[α₁ α₂ α₃[*] β₁ β₂ β₃]，对A施行初等行变换 [*] 从而，β₁＝2α₁＋4α₂－α₃，β₂＝α₂＋2α₁，β₃＝5α₁＋10α₂－2α₃．

解析

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考研数学三

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