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设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求: (1)A2: (2)A的特征值和特征向量; (3)A能否相似于对角矩阵,说明理由.
设向量α=[a1,a2,…,an]T,β=[b1,b2,…,bn]T都是非零向量,且满足条件αTβ=0,记n阶矩阵A=αβT,求: (1)A2: (2)A的特征值和特征向量; (3)A能否相似于对角矩阵,说明理由.
admin
2018-09-20
29
问题
设向量α=[a
1
,a
2
,…,a
n
]
T
,β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
都是非零向量,且满足条件α
T
β=0,记n阶矩阵A=αβ
T
,求:
(1)A
2
:
(2)A的特征值和特征向量;
(3)A能否相似于对角矩阵,说明理由.
选项
答案
(1)由A=αβ
T
和α
T
β=0,有 A
2
=AA=(αβ
T
)(αβ
T
)=α(β
T
α)β
T
=(β
T
α)αβ
T
=(α
T
β)αβ
T
=O,即A是幂零矩阵(A
2
=O). (2)利用(1)A
2
=O的结果.设A的任一特征值为λ,对应于λ的特征向量为ξ,则 Aξ=λξ. 两端左边乘A,得 A
2
ξ=λAξ=λ
2
ξ. 因A
2
=O,所以λ
2
ξ=0,ξ≠0,故λ=0,即矩阵A的全部特征值为0. 故由上易知方程组Ax=0的非零解即为A的特征向量.不妨设a
1
≠0,b
1
≠0,有 [*] 则A的对应于特征值0的特征向量为[*]k
1
,…,k
n-1
为不全为零的常数. (3)A不能相似于对角矩阵,因α≠0,β≠0,故A=αβ
T
≠O,r(A)=r≠0(其实r(A)=1).从而对应于特征值λ=0(n重)的线性无关的特征向量的个数是n一r≠n,故A不能对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/2fIRFFFM
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考研数学三
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