设p(x),q(x),f(x)≠0均是关于x的已知连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y”﹢p(x)y’﹢q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1,C2是两个任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( )

admin2018-12-21  45

问题 设p(x),q(x),f(x)≠0均是关于x的已知连续函数,y1(x),y2(x),y3(x)是y﹢p(x)y﹢q(x)y=f(x)的3个线性无关的解,C1,C2是两个任意常数,则该非齐次方程的通解是    (  )

选项 A、C1y1﹢(C2-C1)y2-(1﹢C2)y3
B、(C1-C2)y1+(C2-1)y2﹢(1-C1)y3
C、(C1﹢C2)y1﹢(C1-C2)y2﹢(1-Cy2)y3
D、C1y1﹢C2y2﹢(1-C1-C2)y3

答案D

解析 实际上有下述定理.设p(x),q(x)与f(x)均为连续函数,f(x)≠0,考虑下述两个方程
y﹢p(x)y﹢q(x)y=f(x)    (*)
及对应的齐次方程
y﹢p(x)y﹢q(x)y=0.    (**)
①设y1(x),y2(x),y3(x)是式(*)的3个解,A,B,C为常数.并设
y=Ay1(x)﹢By2(x)﹢Cy3(x).    (***)
则式(***)是式(*)的解的充要条件是
    A﹢B﹢C﹦1:
式(***)是式(**)的解的充要条件是
    A﹢B﹢C=0.
②设y1(x),y2(x),y3(x)是式(*)的3个线性无关的解,A,B,C中有两个为任意常数.
则式(***)是式(*)的通解的充要条件是
    A﹢B﹢C=1:
式(***)是式(**)的通解的充要条件是
    A﹢B﹢C=0.
本题用到上述②.验算上述y1,y2,y3的系数之和,(D)的系数之和为C1﹢C2﹢(1-C1-C2)=1.所以(D)是通解.
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