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  3. 设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角矩阵．

设n阶矩阵 (1)求A的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角矩阵．

admin2016-04-11  32
问题 设n阶矩阵

    (1)求A的特征值和特征向量；
    (2)求可逆矩阵P，使P—1AP为对角矩阵．
选项
答案(1)1° 当b≠0时，｜λE一A｜=[*]=[λ一1一(n一1)b][λ一(1—b)]n—1，故A的特征值为λ1=1+(n一1)6，λ2=…=λn=1—b． 对于λ1=1+(n一1)b，设对应的一个特征向量为ξ1，则 [*]ξ1=[1+(n一1)ξ1 解得ξ1=(1，1，…，1)T，所以，属于λ1的全部特征向量为 kξ1=k(1，1，…，1)T，其中k为任意非零常数． 对于λ2=…=λn=1—b，解齐次线性方程组[(1—b)E一A]x=0．由 [*] 解得基础解系为ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T．故属于λ2=…=ξn的全部特征向量为 k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn为不全为零的任意常数． 2° 当b=0时，A=E，A的特征值为λ1=λ2=…=λn=1，任意n维非零列向量均是特征向量． (2)1° 当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令矩阵P=[ξ1 ξ2 … ξn]，则有 P—1AP=diag(1+(n一1)b，1—b，…，1—b)． 2。 当b=0时，A=E，对任意n阶可逆矩阵P，均有P—1AP=E．
解析
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考研数学一

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