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  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明： (Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明： (Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)； (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ

admin2013-09-03  37
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导存在相等的最大值，又f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：
    (Ⅰ)存在η∈(a，b)，使得f(η)=g(η)；
    (Ⅱ)存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．
选项
答案(I)设f(x)，g(x)在(a，b)内某点c∈(a，b)同时取得最大值， 则f(c)=g(c)，此时的c就是所求点η，使得f(η)=g(η)， 若两个函数取得最大值的点不同，则可设f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)， 故有f(c)-g(c)＞0，f(d)-g(d)＜0， 由介值定理，在(c，d)内(或(d，c)内)肯定存在η，使得f(η)=g(η)． (Ⅱ)由罗尔定理在区间(a，η)、(η，b)内分别存在一点ξ1，ξ2， 使得f’(ξ1)=g’(ξ1)，f’(ξ2)=g’(ξ2)．在区间(ξ1，ξ2)内再用罗尔定理， 即存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=g’’(ξ)．
解析
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考研数学一

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