下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是( )

admin2017-09-07  21

问题 下列矩阵中,不能相似于对角矩阵的是(    )

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案B

解析 设4个答案中的矩阵依次为A,B,C,D,则|λE-A|==0,得λ1=1,λ2=2,λ3=3,因它有3个不同的特征值,则必可对角化,故可排除A;
又    |λE-B|==(λ-1)2(λ-2)=0,
得λ12=1,λ3=2,B是否可对角化取决于λ12=1时,方程组(E-B)X=0的基础解系是否含2个解向量.由E-B=知R(E-B)=2,故方程组(E-B)X=0的基础解系只含1个解向量,此时B只有两个线性无关的特征向量,而B是3阶矩阵,故B不能相似于对角矩阵,所以选择B.
选项C中矩阵为实对称矩阵,故一定可相似对角化,所以不选择C.
选项D:|λE-D|==(λ-1)2(λ-2)=0,
得λ12=1,λ3=2,D是否可对角化取决于对λ12=1,方程组(E-D)X=0的基础解系是否含2个解向量,由E-D=知R(E-D)=1,故方程组(E-D)X=0的基础解系含2个解向量,则D可相似对角化,所以排除D.
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