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  3. α＝≠0，β＝≠0，A＝，αTβ＝aibi≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

α＝≠0，β＝≠0，A＝，αTβ＝aibi≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．

admin2021-09-16  6
问题 α＝≠0，β＝≠0，A＝，αTβ＝aibi≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．
选项
答案令αTβ＝k，则A2＝kA， 设AX＝λX，则A2X＝λ2X＝kλX，即λ(λ－k)X＝0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ＝0或λ＝k． 由λ1＋λ2＋…＋λn＝tr(A)且tr(A)＝k得λ1＝…＝λn＝0，λ＝k． 因为r(A)＝1，所以方程组(0E－A)X＝0的基础解系含有n－1个线性无关的解向量，即λ＝0有n－1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．
解析
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考研数学一

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