设n维列向量α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不可由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数k,必有( ).

admin2019-08-21  35

问题 设n维列向量α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不可由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数k,必有(    ).

选项 A、α1,α2,α3,kβ12线性无关
B、α1,α2,α3,kβ12线性相关
C、α1,α2,α3,β1+kβ2线性无关
D、α1,α2,α3,β1+kβ2线性相关

答案A

解析 对于抽象的向量组,可以用定义法,也可以用排除法.
解:设有一组数字λ1,λ2,λ3,λ4,满足λ1234(kβ12)=0,
若λ4=0,则有条件λ123=0,从而推出α1,α2,α3,kβ12线性无关.
若λ4≠0,则kβ12可由α1,α2,α3线性表示,而β1可由α1,α2,α3线性表示,故β2也可由α1,α2,α3线性表示,矛盾,所以,λ4=0,从而(A)正确.对于其余三个选项,也可用排除法.当k=0时,可排除(B)、(C)项;当k=1时,可排除(D)项.
故应选(A).
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