设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,…,αr,β的线性相关性.

admin2018-11-11  44

问题 设αi=(ai1,ai2,…,ain)T(i=1,2,…,r;r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关.已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组

的非零解向量,试判断向量组α1,…,αr,β的线性相关性.

选项

答案线性无关.证明如下:由题设条件有b1ai1+b2ai2+…+bnamTαi=0(i=1,2,…,r).设k1α1+…+krαr+kr+1β=0,用βT左乘两端并利用βTαi=0及βTβ=‖β‖2>0,得kr+1=0,[*]k1αi+…+krαr=0,又α1,…,αr线性无关,[*]k1=…=kr=0.故α1,…,αr,β线性无关.

解析
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