设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

admin2018-11-11 42

问题设α_i=(a_i1，a_i2，…，a_in)^T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α₁，α₂，…，α_r线性无关．已知β=(b₁，b₂，…，b_n)^T是线性方程组

的非零解向量，试判断向量组α₁，…，α_r，β的线性相关性．

选项

答案线性无关．证明如下：由题设条件有b₁a_i1+b₂a_i2+…+b_na_m=β^Tα_i=0(i=1，2，…，r)．设k₁α₁+…+k_rα_r+k_r+1β=0，用β^T左乘两端并利用β^Tα_i=0及β^Tβ=‖β‖²＞0，得k_r+1=0，[*]k₁α_i+…+k_rα_r=0，又α₁，…，α_r线性无关，[*]k₁=…=k_r=0．故α₁，…，α_r，β线性无关．

解析

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考研数学二

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设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

考研数学二

设E为3阶单位矩阵．求满足AB=E的所有矩阵B．

设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．

设α1,α2……αn是n维向量组，证明α1,α2……αn线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．

设A为n阶方阵(n≥2)，A是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=17,时，r(A)=n；

已知向量α=(1，2，1)，β=(1，0，2)，记A=αβ，若矩阵X满足2E+X=AT-AX，求矩阵X．

设n阶实矩阵A为反对称矩阵，即AT=一A．证明：(A—E)(A+E)一1是正交矩阵．

设函数在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)。是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

设f(χ)有连续导数，f(0)＝0，f′(0)≠0，F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f(t)dt且当χ→0时，F′(χ)与χk是同阶无穷小，则k等于【】

在经营单位产品定位战略中，行业内产品序列战略包括

不属于高度危险性物品的是

该患儿最可能的诊断是最必要的实验室检查是

A.心脏毒性B.肾脏毒性C.皮肤毒性D.骨髓毒性E.肺脏毒性环磷酰胺的主要不良反应是

波长为λ的单色光垂直照射在折射率为n的劈尖薄膜上，在由反射光形成的干涉条纹中，第五级明条纹与第三级明条纹所对应的薄膜厚度差为()。[2013年真题]

纳税人遗失税务登记证件时，应当在()日内书面报告主管税务机关，并登报声明作废。

某企业每年九月至十月大量收购和储存玉米，由此产生的玉米库存属于()。

班主任既通过对集体的管理去间接影响个人，又通过对个人的直接管理去影响集体，从而把对集体和个人的管理结合起来的管理方式称为()。

有群众举报附近的工厂有违规排污行为。领导让你负责此事，你如何展开调查?

设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

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设α1,α2,α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．证明α1+α2，α2+α3，α3+α1也是该方程组的一个基础解系．

设α1,α2……αn是n维向量组，证明α1,α2……αn线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．

设A为n阶方阵(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，试证：当r(A)=17,时，r(A*)=n；

已知向量α=(1，2，1)*，β=(1，0，2)*，记A=αβ*，若矩阵X满足2E+X=AT-A*X，求矩阵X．

设n阶实矩阵A为反对称矩阵，即AT=一A．证明：(A—E)(A+E)一1是正交矩阵．

设函数在闭区间[0，1]上可微，对于[0，1]上的每一个x，函数f(x)的值都在开区间(0，1)内，且f’(x)≠1，证明在(0，1)内方程f(x)=x有且仅有一个实根．

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，且α1=(1，一1，1)。是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

设矩阵的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化．

设f(χ)有连续导数，f(0)＝0，f′(0)≠0，F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f(t)dt且当χ→0时，F′(χ)与χk是同阶无穷小，则k等于【】

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设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，…，r；r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关．已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，…，αr，β的线性相关性．

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已知向量α=(1，2，1)，β=(1，0，2)，记A=αβ，若矩阵X满足2E+X=AT-AX，求矩阵X．