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设f在[0,+∞)上可微,且0≤f’(x)≤f(x),f(0)=0.证明;在[0,+∞)上f(x)≡0.
设f在[0,+∞)上可微,且0≤f’(x)≤f(x),f(0)=0.证明;在[0,+∞)上f(x)≡0.
admin
2022-11-23
24
问题
设f在[0,+∞)上可微,且0≤f’(x)≤f(x),f(0)=0.证明;在[0,+∞)上f(x)≡0.
选项
答案
令g(x)=e
-x
f(x),x∈[0,+∞),则g(0)=0.g(x)≥0.因为f’(x)≤f(x),所以 g’(x)=e
-x
f’(x)-e
-x
f(x)=e
-x
(f’(x)-f(x))≤0,x∈[0,+∞). 因此,g为[0,+∞)上的递减函数,于是,0≤g(x)≤g(0)=0,x∈[0,+∞),故g(x)≡0,由此得在[0,+∞)上f(x)≡0.
解析
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考研数学一
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