设f(x)在[0，+∞]连续，且证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．

admin2016-01-15 31

问题设f(x)在[0，+∞]连续，且

证明至少存在ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0．

选项

答案作函数F(x)=f(x)+x，有 ∫₀¹F(x)dx=∫₀¹[f(x)+x]dx=∫₀¹f(x)dx+[*]＜0．所以由积分中值定理，存在a∈[0，1]，使 ∫₀¹F(x)dx=(1—0)F(a)＜0，即F(a)＜0．又 [*] 因此，由零点定理，至少存在一个ξ∈(a，b)[*](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0．

解析

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考研数学一

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求。
设函数f(x)在区间[-1，1]上有三阶连续导数，且f(一1)=0，f(1)=1，f’(0)=0，证明：在(一1，1)内至少存在一点ξ，使得f"’(ξ)=3．
在左半平面（x＜0）上，求曲线y=和y=x2的公切线。
设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为,又此曲线上的点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线方程，并求函数y(x)的极值。
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