2. 考研
  3. 设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．

设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．

admin2020-03-16  89
问题 设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．
选项
答案二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为[*]因为P为正交矩阵，所以[*] 即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满足｜λE一A｜=0． 当λ1=0，则[*]由式(1)和(2)，可求得α=β=0．
解析 本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A，由标准形f=y22+2y32，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．
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考研数学二

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