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  3. 设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明： BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．

设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明： BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．

admin2017-06-14  33
问题 设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：
BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．
选项
答案必要性．A正定，且BTAB正定，由(1)知，r(B)=r(BTAB)=n，故r(B)=n． 充分性．A正定，r(B)=n，则BTAB=BTDTDB=(DBT)(DB)，因r(B)=n，D可逆，故DB可逆，从而BTAB正定．
解析
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考研数学一

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