设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有( )

admin2019-08-12 49

问题设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)Ax=0和(Ⅱ)A^TAx=0，必有( )

选项 A、(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．
B、(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．
C、(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．
D、(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．

答案A

解析本题考查齐次线性方程组解的概念及相关理论．显然(I)的解是(Ⅱ)的解．设x₀是(Ⅱ)的解，则有A^Tx₀=0，在该式两边左乘x₀^T，得x₀^TA^TAx₀=0，即(Ax₀)^TAx₀=0，从而‖Ax₀‖=0．于是Ax₀=0，即(Ⅱ)的解是(I)的解．故选A．

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