2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=一2，λ3=2，对应的特征向量分别是 已知β=[3，11，11]T．证明β是A100。的特征向量，并求对应的特征值．

设A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=一2，λ3=2，对应的特征向量分别是 已知β=[3，11，11]T．证明β是A100。的特征向量，并求对应的特征值．

admin2018-08-22  69
问题 设A是3阶矩阵，有特征值λ1=λ2=一2，λ3=2，对应的特征向量分别是
                       
    已知β=[3，11，11]T．证明β是A100。的特征向量，并求对应的特征值．
选项
答案将β用ξ1，ξ2，ξ3线性表出，设β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3,即解方程组 [*] 将增广矩阵作初等行变换： [*] 解得[x1，x2，x3]T=[1，一2，3]T，即β=ξ1-2ξ2+3ξ3． 因Aξi=λiξi，故A100ξi=λ100ξi，i=1，2，3． 故A100β=A100(ξ1一2ξ2+3ξ3)=(一2)100ξ1一2(-2)100ξ2+3×2100ξ3 =2100(ξ1一2ξ2+3ξ3)=2100β． 得知β是A100的特征向量，且对应的特征值为2100．
解析
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考研数学二

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