设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且f(0)=0,证明:存在ξ,η∈(0,π),使得

admin2021-03-18  32

问题 设f(x)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且f(0)=0,证明:存在ξ,η∈(0,π),使得

选项

答案令F(x)=∫0xf(t)dt,F’(x)=f(x), g(x)=cosx,g’(x)=-sinx≠0(0<x<π), 由柯西中值定理,存在ξ∈(0,π),使得 [*],即[*],或[*] 又由拉格朗日中值定理,存在η∈(0,ξ)[*](0,π),使得 f(ξ)=f(ξ)-f(0)=f’(η)(ξ-0)=f’(η)ξ, 故[*]

解析
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