若x>-1,证明:当0<a<1时,有(1+x)q<1+ax;当a<0或a>1时,有(1+x)a>1+ax

admin2016-07-22  14

问题 若x>-1,证明:当0<a<1时,有(1+x)q<1+ax;当a<0或a>1时,有(1+x)a>1+ax

选项

答案令f(x)=(1+x)a则有f’(x)=a(1+x)a-1,f’’(x)=a(a-1)(1+x)a-2, 由f(x)的泰勒展开式f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]x2,ξ∈(0,1),可知当x>-1,0<a<1时,a(a-1)<0,1+ξ>0.故[*]<0,所以f(x)<f(0)+f’(0)x,即 (1+x)a<1+ax 同理可证当x>-1,a<0或a>1时,有(1+x)a>1+ax.

解析
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