设f(x)在x=a处可导,则|f(x)|在x=a处不可导的充分必要条件是 ( )

admin2016-07-22  13

问题 设f(x)在x=a处可导,则|f(x)|在x=a处不可导的充分必要条件是 (    )

选项 A、f(a)=0,f′(a)=0.
B、f(a)=0,f′(a)≠0.
C、f(a)≠0,f′(a)=0.
D、f(a)≠0,f′(a)≠0.

答案B

解析 若f(a)≠0,则存在x=a的某邻域U(a),在该邻域内f(x)与f(a)同号.于是推知,若f(a)>0,则|f(x)|=f(x)(当x∈U(a));若f(a)<0,则|f(x)|=-f(x).总之,若f(a)≠0,|f(x)|在x=a处总可导.
若f(a)=0,则
从而知

其中x→a+时取“+”,x→a时取“-”,所以f(a)=0时,|f(x)|在x=a处可导的充要条件为|f′(a)|=0,即f′(a)=0.
所以当且仅当f(a)=0,f′(a)≠0时,|f(x)|在x=a处不可导,选(B).
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