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  3. 设f(x)=x(x-1)2(x-2)，则f’(x)的零点个数为( )

设f(x)=x(x-1)2(x-2)，则f’(x)的零点个数为( )

admin2018-01-12  29
问题 设f(x)=x(x-1)2(x-2)，则f’(x)的零点个数为(    )
选项 A、0．
B、1．
C、2．
D、3．
答案D
解析 由于f(x)=x(x-1)2(x-2)在[0，1]，[1，2]上连续，在(0，1)，(1，2)内可导，且f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理可知，存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．又因为
f’(x)=(x-1)2(x-2)+2x(x-1)(x-2)+x(x-1)2=2(x-1)(2x2-4x+1)，
易知f’(1)=0，所以f’(x)=0至少有三个根x=1，ξ1，ξ2，由于f’(x)为三次多项式，因此f’(x)=0至多有三个实根，故ξ1，ξ2，1是f’(x)=0的全部根，所以f’(x)的零点个数为3．
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