设f(x)=x(x-1)2(x-2),则f’(x)的零点个数为( )

admin2018-01-12  23

问题 设f(x)=x(x-1)2(x-2),则f’(x)的零点个数为(    )

选项 A、0.
B、1.
C、2.
D、3.

答案D

解析 由于f(x)=x(x-1)2(x-2)在[0,1],[1,2]上连续,在(0,1),(1,2)内可导,且f(0)=f(1)=f(2)=0,由罗尔定理可知,存在ξ1∈(0,1),ξ2∈(1,2)使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0.又因为
f’(x)=(x-1)2(x-2)+2x(x-1)(x-2)+x(x-1)2=2(x-1)(2x2-4x+1),
易知f’(1)=0,所以f’(x)=0至少有三个根x=1,ξ1,ξ2,由于f’(x)为三次多项式,因此f’(x)=0至多有三个实根,故ξ1,ξ2,1是f’(x)=0的全部根,所以f’(x)的零点个数为3.
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