设4阶矩阵A满足A3=A. (1)证明A的特征值不能为0,1,和-1以外的数. (2)如果A还满足|A+2E|=8,确定A的特征值.

admin2018-11-23  16

问题 设4阶矩阵A满足A3=A.
    (1)证明A的特征值不能为0,1,和-1以外的数.
    (2)如果A还满足|A+2E|=8,确定A的特征值.

选项

答案(1)由于A3=A,A的特征值λ满足λ3=λ,从而λ只能为0,1或-1(但并非0,1,-1都一定是A的特征值!). (2)由A的特征值不是0,1,-1外的数,得知A+2E的特征值不是2,3,1之外的数. 又由于|A+2E|=8,必有A+2E的特征值为2,2,2,1,从而A的特征值为0,0,0,-1.

解析
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