(06年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Aχ=0的两个解. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A; (Ⅲ)求A

admin2017-05-26  48

问题 (06年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组Aχ=0的两个解.
    (Ⅰ)求A的特征值与特征向量;
    (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QTAQ=A;
    (Ⅲ)求A及(A=E)6,其中E为3阶单位矩阵.

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为3.所以 [*] 因为Aα1=0,Aα2=0,即 Aα1=0α1,Aα2=0α2 故λ1=λ2=0是A的二重特征值,α1,α2为A的属于特征值0的两个线性无关特征向量;λ3=3是A的一个特征值,α3=(1,1,1)T为A的属于特征值3的特征向量. 总之,A的特征值为0,0,3.属于特征值0的全体特征向量为k1α1+k2α2(k1,k2不全为零),属于特征值3的全体特征向量为k3α3(k3≠0). (Ⅱ)对α1,α2正交化.令ξ1=α1(-1,2,-1)T ξ2=[*] 再分别将ξ1,ξ2,ξ3单位化,得 [*] 那么Q为正交矩阵,且QTAQ=A.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/xDSRFFFM
0

最新回复(0)