[2003年] 已知齐次线性方程组 其中试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.

admin2019-05-11  81

问题 [2003年]   已知齐次线性方程组
              
其中试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时,(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.

选项

答案方程组的系数行列式|A|为行和相等的行列式,易求得[*] (1)当|A|≠0,即b≠0且[*]时,秩(A)=n,方程组仅有零解. (2)当|A|=0时,有b=0或[*]两种情况. ①当b=0时,原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2++anxn=0. 由[*]可知,ai(i=1,2,…,n)不全为零,不妨设a1≠0,则 [*] 因秩(A)=1,AX=a1x1+a2x2+…+anxn=0有非零解,一个基础解系含n—1个解向量: α1=[-a2/a1,1,0,…,0]T,α2=[-a3/a1,0,1,…,0]T,…,αn=[-an/a1,0,0,…,1]T. ②当[*]即[*]时,其系数矩阵可化为含最高阶单位矩阵的矩阵: [*] 因而秩(A)=n—1,其基础解系只含一个解向量α=[1,1,…,1]T

解析
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