设抛物线y＝χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)． (Ⅰ)求S＝S(a)的表达式； (Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?

admin2017-03-06 37

问题设抛物线y＝χ²与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a²)(a＞0)．
(Ⅰ)求S＝S(a)的表达式；
(Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?

选项

答案(Ⅰ)设另一个切点为(χ₀，χ₀²)，则抛物线y＝χ²的两条切线分别为 L₁：y＝2aχ－a²， L₂：y＝2χ₀χ－χ₀²．因为L₁⊥L₂，所以χ₀＝－[*]，两条切线L₁，L₂的交点为χ₁＝[*]，y₁＝aχ₀，L₁，L₂及抛物线y＝χ²。所围成的面积为 [*] (Ⅱ)S′(a)＝[*]＝0，得a＝[*]．因为当a∈(0，[*])时，S′(a)＜0，当a＞[*]时，S′(a)＞0，所以当a＝[*]时，面积S(a)取最小值．

解析

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考研数学二

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设抛物线y＝χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)． (Ⅰ)求S＝S(a)的表达式； (Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?

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