2. 考研
  3. 设抛物线y＝χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)． (Ⅰ)求S＝S(a)的表达式； (Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?

设抛物线y＝χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)． (Ⅰ)求S＝S(a)的表达式； (Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?

admin2017-03-06  29
问题 设抛物线y＝χ2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．
    (Ⅰ)求S＝S(a)的表达式；
    (Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?
选项
答案(Ⅰ)设另一个切点为(χ0，χ02)，则抛物线y＝χ2的两条切线分别为 L1：y＝2aχ－a2， L2：y＝2χ0χ－χ02． 因为L1⊥L2，所以χ0＝－[*]，两条切线L1，L2的交点为χ1＝[*]，y1＝aχ0，L1，L2及抛物线y＝χ2。所围成的面积为 [*] (Ⅱ)S′(a)＝[*]＝0，得a＝[*]． 因为当a∈(0，[*])时，S′(a)＜0， 当a＞[*]时，S′(a)＞0， 所以当a＝[*]时，面积S(a)取最小值．
解析
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考研数学二

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