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设f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2,f(1)=1,求∫12f(x)dx.
设f(x)连续,且∫0xtf(2x-t)dt=arctanx2,f(1)=1,求∫12f(x)dx.
admin
2022-06-04
28
问题
设f(x)连续,且∫
0
x
tf(2x-t)dt=
arctanx
2
,f(1)=1,求∫
1
2
f(x)dx.
选项
答案
令2x-t=u,由已知,有 ∫
0
x
tf(2x-t)dt=-∫
2x
x
(2x-u)f(u)du=-2x∫
2x
x
f(u)du+∫
2x
x
uf(u)du 等式∫
0
x
tf(2x-t)dt=[*]arctanx
2
两边求导,得 -2∫
2x
x
f(u)du-2x[f(x)-2f(2x)]+[xf(x)-4xf(2x)]=[*] 即 ∫
2x
x
f(u)du=[*] 又f(1)=1,当x=1时,有∫
2
1
f(u)du=[*],因此∫
1
2
f(x)dx=3/4.
解析
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0
考研数学二
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