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  3. 证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)。

证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)。

admin2020-01-15  32
问题 证明不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，)。
选项
答案设f(x)=tanx+2sinx一3x，x∈(0，[*])， 则f’(x)=sec2x+2cosx一3， f’’(x)=2sec2xtanx一2sinx=2sinx(sec3x一1)， 由于当x∈(0，[*])时sinx＞0，sec3x一1＞0，则f’’(x)＞0，函数f’(x)=sec2x+2cosx一3，为增函数，f’(0)=0，因此x∈(0，[*])时，f(x)=sec2x+2cosx一3＞0，进一步得函数f(x)为增函数，由于f(0)=0，因此f(x)=tanx+2sinx一3x＞f(0)=0，x∈(0，[*])，即不等式3x＜tanx+2sinx，x∈(0，[*])成立。
解析
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考研数学二

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